"Чистая"
и прикладная математика

ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ И КОРНЯМИ

Свойства степени с натуральным показателем

Преобразования арифметических корней

Степень с целым и дробным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача - внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Другие темы в блоке "Школьная математика"

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение