"Чистая"
и прикладная математика

Умножение матрицы на число, сложение матриц

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Результатом операции умножение матрицы на число, результатом является произведение матрицы на число, результатом операции сложения (вычитания) матриц является сумма (разность) матриц.

Умножение матрицы на число

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Это был совсем простой пример умножения матрицы на число с целыми числами. Впереди также простые примеры, но уже такие, где среди множителей и элементов матриц - дроби, переменные (буквенные обозначения), ведь законы умножения действуют не только для целых чисел, так что никогда не вредно их повторить.

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не забывая, что при умножении дробей числитель первой дроби умножается на числитель первой дроби и произведение записывается в числитель, а знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби и произведение записывается в знаменатель. При получении второго элемента первой строки новой матрицы полученную дробь сократили на 2, это надо делать обязательно. Получаем

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Умножим элементы матрицы A на α, не путаясь в буквенных обозначениях, не забыв оставить минус перед вторым элементом второй строки новой матрицы, и помня, что результат умножения числа на обратное ему число есть единица (первый элемент третьей строки). Получаем

.

Пример 4. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Получаем

.

Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.

Свойства умножения матрицы на число

(здесь A, B - матрицы, - числа, 1 - число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Экономический смысл умножения матрицы на число

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где - количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года. Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых i, j верно равенство . В этом случае отчёт за следующий год получается как Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A на число 1,2.


Сложение матриц

Суммой (разностью) двух mn-матриц A и B называется матрица С , элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц A и B , т.е.


для суммы матриц и


для разности матриц (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m), где – элементы матрицы А, – элементы матрицы В.

Из данного определения понятно, что разность матриц - результат, обратный сумме матриц.

Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.

Пример 5. Найти сумму и разность матриц

 и

В соответствии с определением находим:

Как и в предыдущем параграфе, приведём ещё примеры сложения матриц, в которых среди элементов матриц - дроби и переменные (буквенные обозначения). Законы сложения для самых разных чисел будут попадаться один за другим при всём дальнейшем изучении высшей математики.

Пример 6. Найти сумму матриц

 и

.

В соответствии с определением находим:

.

Пример 7. Найти сумму матриц

 и

.

Приводим все пары складываемых дробей к общему знаменателю. Результат сложения первых элементов первой строки приводить к форме с целой частью не требуется. Получаем

.

Пример 8. Найти сумму матриц

 и

.

Производим действия, в основном описанные в предыдущих примерах. Особо заметим, что при сложении разных степеней переменной получается сумма переменной в этих степенях, т. е. многочлен (первый элемент первой строки новой матрицы). Получаем

.

Свойства сложения матриц

1. A + B = B + A (коммутативность).

2. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность).

Кроме того, сумма матриц и их произведение связаны свойством дистрибутивности:

3. (A + B)C = AC + BC.

Экономический смысл сложения матриц

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где - количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчёт о продажах за второй год имеет вид матрицы того же размера . Тогда продажи за два года выражаются матрицей , получаемой по определению сложением соответствующих элементов двух матриц.

Начало темы "Матрицы"
Продолжение темы "Матрицы"
Другие темы линейной алгебры