"Чистая"
и прикладная математика

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО, СУММА МАТРИЦ

Произведение матрицы на число

Сумма матриц

Результатом операции умножение матрицы на число, результатом является произведение матрицы на число, результатом операции сложения (вычитания) матриц является сумма (разность) матриц.

Произведение матрицы на число

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

 

Свойства умножения матрицы на число

(здесь A, B - матрицы, - числа, 1 - число единица)

1.

2.

3.

4.

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц:

5. ,

т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число.

Экономический смысл умножения матрицы на число

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где - количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года. Если же в течение следующего года продажа каждого вида продукции увеличилась на 20%, то для любых i, j верно равенство . В этом случае отчёт за следующий год получается как Y = 1,2X, т. е. умножением исходной матрицы A на число 1,2.


Сумма матриц

Суммой (разностью) двух mn-матриц A и B называется матрица С , элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц A и B , т.е.


для суммы матриц и


для разности матриц (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m), где



– элементы матрицы А ,

– элементы матрицы В .

Из данного определения понятно, что разность матриц - результат, обратный сумме матриц.

Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.

Пример 2. Найти сумму и разность матриц

 и

 

В соответствии с определением находим:

 

Свойства суммы матриц

1. A + B = B + A (коммутативность).

2. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность).

Кроме того, сумма матриц и их произведение связаны свойством дистрибутивности:

3. (A + B)C = AC + BC.

Экономический смысл суммы матриц

Пусть три магазина продают пять различных видов продукции. Тогда отчёт о продажах за год может быть дан в виде матрицы

,

где - количество продукции j-го вида, продаваемое i-м магазином в течение некоторого года.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчёт о продажах за второй год имеет вид матрицы того же размера . Тогда продажи за два года выражаются матрицей , получаемой по определению сложением соответствующих элементов двух матриц.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Начало темы "Матрицы"

Понятие матрицы

Продолжение темы "Матрицы"

Произведение матриц

Обратная матрица

Найти ранг матрицы: способы и примеры

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений