"Чистая"
и прикладная математика

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости

Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой

Неполные уравнения прямой

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.

Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии - составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.

Вектор нормали - это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: . Координаты точки - и .

Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:

  (1).

Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали к ней .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Из примера 1 видно, что координаты вектора нормали пропорциональны числам A и B из общего уравнения прямой на плоскости. Это не совпадение, а закономерность! Поэтому в общем случае, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то вектор нормали к прямой можно записать так: .

Пример 2. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать вектор нормали к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому вектор нормали запишется:

.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Если вектор нормали перпендикулярен искомой прямой, то направляющий вектор параллелен ей. Направляющий вектор обычно записывается так: . Имеет место следующая зависимость координат направляющего вектора от чисел A и B общего уравнения прямой: .

Общее уравнение прямой по точке и направляющему вектору можно составить по формуле

,   (2)

известной как каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и её направляющий вектор .

Решение. Используя формулу (2), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

На всякий случай сделаем проверку - подставим в полученное общее уравнение прямой координаты точки, которая должна ей принадлежать:

.

Получили верное равенство. А координаты вектора связаны с числами A и B уравнения закономерностью . Значит, задание выполнено корректно.


Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать направляющий вектор к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому направляющий вектор запишется:

.

Решая задачи контрольных работ, особенно, если задач много и к концу контрольной студент стремится наверстать упущенное за время обдумывания заданий, можно запутаться в знаках, записывая вектор нормали и направляющий вектор. Будьте внимательны!

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости

Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно составить по формуле

.   (3)

Полученное выражение следует преобразовать к виду общего уравнения прямой.

Пример 5. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точки и .

Решение. Используя формулу (3), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

Получили общее уравнение плоскости.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Прямая и плоскость

Пример 6. Построить в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, заданную общим уравнением .

Решение. Для построения прямой достаточно знать координаты каких-либо двух точек, например, точек пересечения прямой с координатными осями. Полагая в данном уравнении , получим , т.е. - точка пересечения прямой с осью Oy.

При получим , т.е. - точка пересечения прямой с осью Ox.

По двум точкам и строим прямую (рисунок слева.)

Вектором нормали этой прямой служит вектор .

Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой

Во многих задачах аналитической геометрии возникает необходимость преобразовать уравнения одного вида к уравнению другого вида. Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой делается достаточно просто: в уравнении вида всё переносим в левую часть, а в правой остаётся нуль. Получается уравнение вида .

Пример 7. Дано уравнение прямой с угловым коэффициентом . Записать уравнение этой прямой в общем виде и направляющий вектор этой прямой.

Решение. Всё переносим в левую часть, а в правой оставляем нуль:

.

Получили общее уравнение прямой. В нём . Поэтому направляющий вектор запишется так:

.

Неполные уравнения прямой

Рассмотрим особенности расположения прямой на плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты общего уравнения прямой равны нулю.

1. При уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат, так как кординаты точки удовлетворяют этому уравнению.

2. При уравнение определяет прямую, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали этой прямой перпендикулярен оси Ox. Аналогично при уравнение определяет прямую, параллельную оси Oy.

3. При уравнение определяет ось Ox, так как эта прямая одновременно параллельна оси Ox и проходит через начало координат. Аналогично, при уравнение определяет ось Oy.

Пример 8. Построить в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, заданную общим уравнением .

Решение. В данном уравнении свободный член равен нулю, поэтому оно определяет прямую, проходящую через начало координат. Следовательно, в точке прямая пересекает обе координатные оси. Для построения прямой нужно знать ещё какую-либо её точку. Для этого дадим одной из переменных в заданном уравнении произвольное значение, например, , и найдём соответствующее значение x: . Теперь строим прямую, проходящую через начало координат и точку (рисунок слева).

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Прямая и плоскость

Всё по теме "Прямая на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой