"Чистая"
и прикладная математика

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Понятие двойного интеграла

Сведение двойного интеграла к повторному

Смена порядка интегрирования

Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов

Понятие двойного интеграла

Двойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f(xy).

Записывается двойной интеграл так:

.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x, а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее – одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл - значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D.

В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D - криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.

Случай прямоугольной области:

Случай криволинейной области:

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(xy) и ограничения для D: D = {(xy) | a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d}, означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b, а снизу и сверху - прямые y = c и y = d. Здесь a, b, c, d - числа.

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d - числа, о которых только что упоминалось.

Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем - внешний (левый) определённый интеграл.

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(xy), а ограничения для D: уже несколько другого вида:

.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области - прямые x = a и x = b, но снизу и сверху - кривые, которые заданы уравнениями и . Иными словами, и - функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a и b - числа, а и - функции. В случае треугольной области одна из функций или - это уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем - левый определённый интеграл.

Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

.

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем второе слагаемое:

Вычисляем третье слагаемое:

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

.

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Смена порядка интегрирования

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования. Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x, а правый - по y, то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для "нового" игрека нужно "позаимствовать" у "старого" икса, а пределы интегрирования для "нового" икса получить в виде обратной функции, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.

Пример 5. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу - правым. Пределы интегрирования для "нового" игрека позаимствуем у "старого" икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний - единице. Пределы интегрирования для "старого" игрека заданы уравнениями и . Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:

(нижний) и (верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:

.

После смены порядка интегрирования нередко возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования превратилась в фигуру, имеющую в виде нижней или верхней границы две или более двух прямых;

2) область интегрирования превратилась в фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Разберём такие примеры.

Пример 6. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла ограничена прямыми y = 1, y = 3, x = 0, x = 2y.

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых: AB и BC, которые заданы уравнениями y = 1 и y = x/2, что видно на рисунке ниже.

Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования на две части. Делить область интегрирования будет прямая . Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме двух интегралов:

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 7. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла ограничена прямыми x = 0, x = 2 и кривыми и .

Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x, будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для :

Для :

Для :

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл - отрицательное число, то площадь равна его модулю.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

Пример 8. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y² = x + 1 и x + y = 1.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y² = x + 1, а справа прямой y = 1 - x. (рисунок ниже).

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения: . Ординаты этих точек - - 2 и 1 будут соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как видим, решение двойного интеграла - отрицательное число. За площадь данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.

Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси 0z, а направляющей служит контур области, вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла можно вычислять объёмы тел.

Пример 9. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z = 1 (рисунок ниже).

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Вновь видим, что решение двойного интеграла - отрицательное число. За объём данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Интегралы функций одной переменной

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Метод интегрирования по частям

Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Применения определённого интеграла

Поделиться с друзьями