"Чистая"
и прикладная математика

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА В НАХОЖДЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЁМОВ ФИГУР

Площадь криволинейной трапеции

Объём тела вращения

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на плоскости Oxy дана фигура, ограниченная отрезком [a, b] оси Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) на [a, b]. Это криволинейная трапеция, площадь s которой может быть вычислена по формуле

 (1)

Итак, определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) по [a, b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a, b], ограниченной сверху графиком функции y = f(x). В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

прямой x = 1 и осью Ox (рис. 19).

Решение. По формуле (1) имеем

Если

то s = 1/2;

если

то s = 1/3, и т.д.

Объём тела вращения

Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), имеет объём

 (2)

Пример 2. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.

Уравнение окружности LBCD имеет вид

причём уравнение кривой BCD

а уравнение кривой BLD

 

Используя формулу (2), получаем для объёма тора v выражение



Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы "Интеграл"

Свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Метод интегрирования по частям

Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Вычисление двойных интегралов