"Чистая"
и прикладная математика

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Случай несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования: отрезок интегрирования неограниченный.

Случай несобственных интегралов от неограниченных функций: подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не существует, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений.

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x), определённой для всех значений , обозначается символом и понимается как предел интеграла при условии, что верхний предел интегрирования непрерывно растёт, т. е.

.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , получаем

.

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. С помощью метода замены переменной можно получить очень полезную формулу:

Доказывать эту формулу нет необходимости, но запомнить стоит - пригодится. Итак, применяя эту формулу для нахождения первообразной получим

Итак, интеграл сходится и равен 1.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Находим

.

Но не существует, т. е. данный несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, обозначаемый символом , а именно

.

Если этот предел существует (и, значит, конечен, то есть, равен некоторому числу, а не бесконечности), то данный интеграл называется сходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования, обозначаемый символом , нужно предварительно представить в виде

.

По определению,

,

причём этот несобственный интеграл считается сходящимся, если оба предела существуют, когда a и b независимо друг от друга неограниченно возрастают по абсолютной величине.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Рассмотрим интеграл, у которого подынтегральная функция неограниченно возрастает лишь на одном участке интегрирования.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [a, b[ (сама точка b не включена в этот промежуток). Точку b будем называть особой точкой, если при (неограниченном стремлении x к b) в точке x = b функция не определена, то есть, эта точка не входит в область определения функции или, ещё проще, в этой точке функция не существует.

Тогда под несобственным интегралом понимается предел интеграла ( означает, что стремится к нулю справа).

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Это также обобщённая формула Ньютона-Лейбница. Именно она применяется в решении задач на вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция при неограниченно возрастает, а в точке x = 0 функция не определена, то есть, не существует. Используя обобщённую формулу Ньютона-Лейбница, получаем

(так как при x = 0 первообразная непрерывна). Итак, данный интеграл сходится и равен -3/2.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы "Интеграл"

Свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Метод интегрирования по частям

Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Продолжение темы "Интеграл"

Применения определённого интеграла

Вычисление двойных интегралов

Поделиться с друзьями