"Чистая"
и прикладная математика

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим сначала интегралы вида

 (31)

Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами

 (32)
 (33)
 (34)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам

 (35)

и

 (36)

Пример 1. Найти

Решение. По формуле (32) при

имеем

Поэтому

Применяя далее формулу (35), получим

Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.

 (37)

В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.

При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен – sin x dx).

Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и  n нечётный; 2) оба показателя чётные.

Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 – нечётный. Тогда, учитывая, что

получим

Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t . Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sin x, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x.

Если же оба показателя m и  n – чётные, то, используя тригонометрические формулы



понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме.

Пример 2. Найти

Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим

в виде

и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

Пример 3. Найти

Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:

Тогда получим

Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin 2x. Тогда (1/2) dt = cos 2x dx. Следовательно,

а

Окончательно получаем

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы "Интеграл"

Свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Метод интегрирования по частям

Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Продолжение темы "Интеграл"

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Применения определённого интеграла

Вычисление двойных интегралов