"Чистая"
и прикладная математика

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

На этом уроке разберём очень простой и универсальный метод интегрирования рациональных функций - метод неопределённых коэффициентов. Для этого потребуются решение квадратных уравнений и решение систем уравнений. Метод неопределённых коэффициентов состоит в том, что правильную дробь можно разложить на элементарные дроби, в числители которых - неизвестные пока числа (неопределённые коэффициенты). Приравнивая выражения, полученные из этих неопределённых коэффициентов, к числителю исходной дроби, получают уже определённые числители полученных дробей, к которым применяются табличные интегралы.

Из урока "Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей" известно, что рациональные дроби (дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В том же уроке говорилось о том, как представить неправильную дробь в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби. Покажем на примерах, как можно разложить рациональную дробь на простейшие дроби, пользуясь методом неопределённых коэффициентов.

И сразу же пример. Сначала остановимся на интегрировании таких рациональных функций, в выражении которых знаменатель можно разложить на множители, в которых переменная (обычно x) присутствует лишь в первой степени (то есть, переменная записана без степени). И начнём с примера, когда дробь правильная.

Пример 1. Найти интеграл от рациональной функции

.

Решение. Ищем, как разложить знаменатель на множители. Сначала можно вынести за скобки x:

.

Для разложения квадратного трёхчлена в скобках решаем квадратное уравнение:

Получаем разложение знаменателя в исходном выражении:

.

Внимание! Сама суть метода неопределённых коэффициентов! В высшей алгебре доказано, что рациональная функция такого вида, который у нас получился, может быть разложена на элементарные дроби, в числителях которых - некоторые, пока неизвестные числа, обозначаемые буквами. То есть, полученная дробь разложена так:

.

Числа, обозначенные большими буквами, повторим, пока неизвестны. Отсюда и название - метод неопределённых коэффициентов. Теперь нужно привести полученные дроби к общему знаменателю. Умножаем неопределённые коэффициенты на те множители, которых в отдельной дроби нет:

.

Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю полученного выражения:

.

Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:

Решаем полученную систему:

Итак, , отсюда

Теперь будем двигаться дальше по сути метода неопределённых коэффициентов, усваивая правила представления любых возможных видов дробей.

Многочлен в знаменателе имеет кратные действительные корни. То есть, в знаменателе имеет место выражение вида , таким образом, x в нём присутствует в первой степени, а само выражение может быть и в квадрате, и в любой другой степени. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

Как видно, у каждой дроби степень выражения в знаменателе последовательно возрастает от единицы до n.

Многочлен в знаменателе имеет комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения меньше нуля. То есть, в знаменателе имеет место выражение вида , таким образом, x в нём присутствует в во второй степени. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

Видим, что для этого случая в числитель нужно ставить линейное выражение, содержащую переменную, в данном случае x.

Многочлен в знаменателе имеет кратные комплексные корни. То есть, в знаменателе имеет место выражение вида . В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

Сравните с предыдущими вариантами: линейное выражение в числителе и увеличение степени многочлена в знаменателе от 1 до n.

Пример 2. Найти интеграл рациональной функции

.

Решение. Квадратный трёхчлен имеет комплексные корни, поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:

.

Умножая обе части равенства на , получаем:

или

Приравнивая коэффициенты при различных степенях x, приходим к системе уравнений:

Решая эту систему уравнений, находим:

Искомое разложение имеет вид:

.

Наконец, найдём интеграл данной функции, используя правила интегрирования и табличные интегралы:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы "Интеграл"

Свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Метод интегрирования по частям

Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей

Продолжение темы "Интеграл"

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Применения определённого интеграла

Вычисление двойных интегралов