"Чистая"
и прикладная математика

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ И ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

Например, неправильную дробь

можно представить в виде



Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.

Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

                   (18)

       (19)

При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:

           (20)

Кроме того, на нашем сайте есть материал Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.


Пример 1. Найти

Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Используя приведённое выше её представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, а также формулу (20), последовательно получим

Любой интеграл вида (19) сводится к нахождению одного или двух следующих интегралов:

       (21)

Поэтому рассмотрим эти интегралы. Первый из них находится по формуле (20) при a = 1.
Чтобы найти второй интеграл, воспользуемся тождеством

                  (22)

На основании тождества (22) получим

Используя формулу (20), имеем

откуда после потенцирования в правой части равенства получаем

                   (23)

Найдём теперь

Здесь знаменатель подынтегрального выражения есть функция от , а числитель – её дифференциал. Поэтому произведя замену переменной

(тогда dt = dx) и применяя формулу (6) при n = - 2, получим

                                                      

Вернувшись к старой переменной, окончательно имеем

                              (24)

Далее, найдём

Так как

то

Применяя формулы (20) и (24), получим

      

Интеграл

находится так же, как и предыдущий. В результате получим

Последние две формулы можно записать в виде одной:

                   (25)

Найдём теперь

Заметив, что числитель подынтегрального выражения с точностью до постоянного множителя совпадает с дифференциалом знаменателя, полагаем

Тогда dt = 2x dx, а x dx = (1/2)dt, откуда       

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

                   (26)

Найдём, наконец,

С помощью замены переменной x = at (тогда dx = a dt) данный интеграл приводится к табличному интегралу (14):

Возвращаясь к старой переменной, получим формулу

                    (27)

которая является обобщением табличного интеграла (14).   

Формулы (23)-(27) можно условно считать табличными интегралами. С их помощью можно найти любой интеграл вида (19). Предварительно такой интеграл приводят к интегралам группы (21). Для этого в знаменателе подынтегральной функции выделяют полный квадрат и представляют его в одном из следующих видов:

или

где m > 0 и n > 0.

В первых двух случаях замена переменной

в третьем непосредственное применение метода разложения приведёт к одному или двум интегралам группы (21).

Пример 2. Найти

Решение. Применяя формулу (23) при a = 8, имеем

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

Рассмотрим интеграл вида

                (28)

Чтобы проинтегрировать любой интеграл такого вида, необходимо уметь находить интегралы

и

Первый из них приведём к табличному интегралу (15) с помощью замены переменной

(тогда ):

Возвращаясь к первоначальной переменной, получим

           (29)

Второй интеграл приведём к табличному, если произведём замену переменной

(эта подстановка называется подстановкой Эйлера).

Тогда

Числитель полученного выражения есть t . Следовательно,

откуда

.

Таким образом,

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

             (30)

Формулы (29 и (30) также можно условно считать табличными интегралами. Если в подкоренном выражении интеграла (28) выделить полный квадрат, то при a > 0 это выражение примет вид

а при a < 0 – вид

После подстановки t = xm в первом случае интеграл (28) приводится к интегралу (30), во втором – к интегралу (29).

Пример 3. Найти

Решение. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Произведя теперь подстановку

(тогда dt = dx), имеем

причём при интегрировании воспользовались формулой (30). Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

Рассмотрим интеграл вида

где

- рациональная функция от и , а - натуральное число. С помощью замены переменной

нахождение такого интеграла сводится к интегрированию дробно-рациональной функции от t . Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями, то следует произвести такую же замену переменной, где за n нужно принять наименьшее общее кратное всех этих показателей.

Пример 4. Найти

Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 3. Их наименьшее общее кратное равно 6. Поэтому произведём замену переменной

(тогда

откуда

 

Следовательно,


Возвращаясь к первоначальной переменной, получим

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы "Интеграл"

Свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Метод интегрирования по частям

Продолжение темы "Интеграл"

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Применения определённого интеграла

Вычисление двойных интегралов