"Чистая"
и прикладная математика

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:

 (1)

Формула (1) называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Так как

то её можно записать в виде

(2)

С помощью формулы интегрирования по частям интегрирование не выполняется сразу: нахождение данного интеграла сводится к нахождению другого. Смысл формулы (2) состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального. Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя. Один из них обозначается через u, а остальная часть относится ко второму множителю и обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du и интегрированием - функция v. При этом за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. При нахождении интегрированием функции v для неё получается бесконечное множество первообразных функций. Чтобы применить формулу интегрирования по частям, можно взять любую из них, а значит, и ту, которая соответствует произвольной постоянной С, равной нулю. Поэтому при нахождении функции v произвольную постоянную С вводить не следует.

Пример 1.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:


Решение. Разбиваем подынтегральное выражение на два множителя. Полагая, что

находим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Пусть , . Тогда , .

Используя формулу интегрирования по частям (1), находим:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

В подынтегральном выражении - логарифм. Почти во всех подобных случаях используется метод интегрирования по частям.

Пример 3.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Полагаем, что , .

Тогда , .

Находим:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

В следующем примере в подынтегральном выражении - тригонометрическая функция, отсутствуют многочлены от переменной, которые можно было бы преобразовать, применяя метод замены переменной. Это значит, что следует применять метод интегрирования по частям.

Пример 4.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Пусть , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям находим:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

И снова логарифм...

Пример 5.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Пусть , .

Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим
,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл вновь находим по частям.

Находим изначальный интеграл:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 6.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Пусть , .

Тогда ,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл находим методом замены переменной.

Возвращаясь к переменной x, получаем

.

Находим изначальный интеграл:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Начало темы "Интеграл"
Продолжение темы "Интеграл"

Поделиться с друзьями