"Чистая"
и прикладная математика

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х       и пусть функция

 

имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция

также имеет первообразную и справедлива формула

                   (1)


Формула (1) называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Так как

 

то её можно записать в виде

Пример 1.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:


Решение. Полагая, что

находим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Пусть , . Тогда , .

Используя формулу интегрирования по частям (1), находим:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

В подынтегральном выражении - логарифм. Почти во всех подобных случаях используется метод интегрирования по частям.

Пример 3.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Полагаем, что , .

Тогда , .

Находим:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

В следующем примере в подынтегральном выражении - тригонометрическая функция, отсутствуют многочлены от переменной, которые можно было бы преобразовать, применяя метод замены переменной. Это значит, что следует применять метод интегрирования по частям.

Пример 4.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Пусть , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям находим:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

И снова логарифм...

Пример 5.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Пусть , .

Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим
,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл вновь находим по частям.

Находим изначальный интеграл:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 6.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Пусть , .

Тогда ,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл находим методом замены переменной.

Возвращаясь к переменной x, получаем

.

Находим изначальный интеграл:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы "Интеграл"

Свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Продолжение темы "Интеграл"

Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Применения определённого интеграла

Вычисление двойных интегралов

Поделиться с друзьями