"Чистая"
и прикладная математика

Найти неопределённый интеграл: примеры и приёмы

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

Метод разложения

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Прежде чем приступить к решению неопределённых интегралов, краткий экскурс в теорию.

Вычислить неопределённый интеграл означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись

 
f(x)dx
,

где знак   называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то

 
f(x)dx = F(x) +C
,                 (1)

где C - произвольная постоянная (константа).

Произвольная постоянная входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль. Восстанавливая же эту функцию как первообразную, мы должны учитывать эту константу, а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, мы и будем записывать множество первообразных с произвольной константой C, например, так: 5x³+С.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f, а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x, а во втором - как функция от z.

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Если Вам не нужен разбор решения примеров и нужного для этого минимума теории, а Вы хотите лишь получить решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору неопределённых интегралов онлайн.

Калькулятор может быть нужен для проверки решения. Более древний способ проверки результата, полученного при вычислении неопределённого интеграла - продифференцировать этот результат, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого интеграла.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Пример 1. Для функции

этому условию удовлетворяет функция

так как

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.

или

                     (2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

и вообще

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.


Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.


Свойства неопределённого интеграла

Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.


Теорема 2.  Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

                  (3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.


Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

  (4)


Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

  (5)


Таблица основных неопределённых интегралов

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

 

Пример 2.  Найти неопределённые интегралы:

1)   

2)

3)

Решение.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3,  имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. Видим в знаменателе многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку и получаем:

.

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значить, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Найти неопределенный интеграл методом разложения

Метод разложения состоит в использовании при интегрировании теорем 3 и 4 из параграфа «Свойства неопределённого интеграла». Проиллюстрируем применение этого метода на примерах.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 параграфа «Свойства неопределённого интеграла», найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, имеем

где

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 5. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. Когда в знаменателе дроби - одночлен, можем почлено разделить числитель на знаменатель. Получим сумму двух интегралов:

.

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и затем окончательно получаем:

Пример 6.  Найти неопределённый интеграл

Решение. Сначала преобразуем подынтегральную функцию. Возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, получим

(затем мы применили теоремы 4 и 3 параграфа «Свойства неопределённых интегралов»). Все полученные интегралы – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3, найдём

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. Нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:

.

Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции и окончательно получаем:

.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. В подынтегральном выражении - многочлен в степени. Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:

Интегрируем каждое слагаемое и окончательно получаем:

Пример 9. Найти неопределённый интеграл

Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде

Тогда



Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Продолжение темы "Интеграл"

Поделиться с друзьями