"Чистая"
и прикладная математика

Найти неопределённый интеграл: примеры и приёмы

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

Найти неопределённый интеграл методом разложения

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Найти неопределённый интеграл означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F '(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной от первообразной функции F(x)..

Например, функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x)' = (cos x).

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись

 
f(x)dx
,

где знак   называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то

 
f(x)dx = F(x) +C
,                 (1)

где C - произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную.

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль. Восстанавливая же эту функцию как первообразную, мы должны учитывать эту константу, а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, мы и будем записывать множество первообразных с произвольной константой C, например, так: 5x³+С.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Пример 1.Найти неопределённый интеграл функции

задача найти неопределённый интеграл функции икс в четвёртой степени

Решение. Для данной функции первообразной является функция

так как

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.

или

                     (2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

и вообще

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.


Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.


В следующих двух примерах уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2.  Найти неопределённые интегралы:

1) задача найти неопределённый интеграл функции икс в кубе  

2) задача найти неопределённый интеграл функции корень третьей степени из икса

3) задача найти неопределённый интеграл функции корень из икс в знаменателе

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3,  имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в знаменателе.

Решение. Видим в знаменателе многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство неопределённого интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, чуть ниже мы изучим все свойства). Получаем:

.

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значить, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f, а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x, а во втором - как функция от z.

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Если Вам не нужен разбор решения примеров и нужного для этого минимума теории, а Вы хотите лишь получить решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору неопределённых интегралов онлайн.

Калькулятор может быть нужен для проверки решения. Более древний способ проверки результата, полученного при вычислении неопределённого интеграла - продифференцировать этот результат, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого интеграла.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию F(x), для которой F'(x)=f(x). Искомая функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x), то график функции y=F(x) есть интегральная кривая. Таким образом, неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых, как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C.

рисунок геометрический смысл неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла

Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.


Теорема 2.  Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

                  (3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.


Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

  (4)


Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

  (5)


Таблица основных неопределённых интегралов

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

 

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство неопределённого интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Применяем формулу 7 из таблицы неопределённых интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

.

Сокращаем получившиеся дроби и окончательно получаем:

.

Найти неопределенный интеграл методом разложения

Метод разложения состоит в использовании при интегрировании теорем 3 и 4 из параграфа «Свойства неопределённого интеграла». Проиллюстрируем применение этого метода на примерах.

Пример 5. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, который вычисляется как сумма интегралов

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 параграфа «Свойства неопределённого интеграла», найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, имеем

где

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда в знаменателе дроби одночлен.

Решение. Когда в знаменателе дроби - одночлен, можем почлено разделить числитель на знаменатель. Получим сумму двух интегралов:

.

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и затем окончательно получаем:

Пример 7.  Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, когда сначала нужно преобразовать подынтегральную функцию

Решение. Сначала преобразуем подынтегральную функцию. Возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, получим

(затем мы применили теоремы 4 и 3 параграфа «Свойства неопределённых интегралов»). Все полученные интегралы – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3, найдём

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл, который можно преобразовать к сумме интегралов.

Решение. Нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:

.

Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции и окончательно получаем:

.

Пример 9. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции многочлен в степени.

Решение. В подынтегральном выражении - многочлен в степени. Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:

Интегрируем каждое слагаемое и окончательно получаем:

Пример 10. Найти неопределённый интеграл

задача найти неопределённый интеграл функции, где синус в квадрате, умноженный на косинус в квадрате в знаменателе

Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде

Тогда



Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Продолжение темы "Интеграл"

Поделиться с друзьями