"Чистая"
и прикладная математика

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА, ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

Метод разложения

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Вычислить неопределённый интеграл означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись

 
f(x)dx
,

где знак   называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то

 
f(x)dx = F(x) +C
,                 (1)

где C - произвольная постоянная (константа).

Произвольная постоянная входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль. Восстанавливая же эту функцию как первообразную, мы должны учитывать эту константу, а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, мы и будем записывать множество первообразных с произвольной константой C, например, так: 5x³+С.

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Если Вам не нужен разбор решения примеров и нужного для этого минимума теории, а Вы хотите лишь получить решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору неопределённых интегралов онлайн.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Пример 1. Для функции

этому условию удовлетворяет функция

так как

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.

или

                     (2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

и вообще

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.


Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.


Свойства неопределённого интеграла

Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.


Теорема 2.  Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

                  (3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.


Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

  (4)


Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

  (5)


Таблица основных неопределённых интегралов

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

 

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Пример 2.  Найти неопределённые интегралы:

1)   

2)

3)

Решение.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3,  имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Метод разложения

Метод разложения состоит в использовании при интегрировании теорем 3 и 4 из параграфа «Свойства неопределённого интеграла». Проиллюстрируем применение этого метода на примерах.

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 параграфа «Свойства неопределённого интеграла», найдём

Все три полученные интеграла – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, имеем

где

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 4.  Найти неопределённый интеграл

Решение. Сначала преобразуем подынтегральную функцию. Возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, получим

(затем мы применили теоремы 4 и 3 параграфа «Свойства неопределённых интегралов»). Все полученные интегралы – табличные. Используя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3, найдём

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 5. Найти неопределённый интеграл

Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде

Тогда



Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Продолжение темы "Интеграл"

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Метод интегрирования по частям

Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Применения определённого интеграла

Вычисление двойных интегралов

Поделиться с друзьями