"Чистая"
и прикладная математика

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат. С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.

Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума, а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.


Поскольку при исследовании функций нужно находить производные, то можно воспользоваться калькулятором производной онлайн.

 Пример. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,

2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

.

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

Наша исследуемая функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим

Из уравнения

имеем

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку

5. Находим

Из уравнения

получаем



т.е.

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как

то

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной в кривой в этой точке

поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

Особенности графика

[-1, 0[

+

-

Возрастает

Выпуклый

0

0

-

1

(0; 1) – точка максимума

]0, 1[

-

-

Убывает

Выпуклый

1

-

0

- точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол

]1, +∞[

-

+

Убывает

Вогнутый

+∞

-

+

 

y = 0 – горизонтальная асимптота

 

8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок "Производная"