"Чистая"
и прикладная математика

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков.

Точки экстремума - объединяющий термин для точек максимума и минимума, а значения функций в этих точках называются экстремумами функции.

Рассмотрим график непрерывной функции. Из рисунка сверху видно, что значение функции в точке меньше, чем значения функции в достаточно близких к ней точках, соседних с ней справа и слева. В этом случае говорят, что функция имеет в точке минимум.

В точке значение функции больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё. В этом случае говорят, что функция имеет в точке максимум.

А теперь строгие определения точек экстремума.

Функция имеет минимум в точке , если существует такая окрестность точки , что для всех

из этой окрестности выполняется неравенство

Функция имеет максимум в точке , если существует такая окрестность точки , что для всех

из этой окрестности выполняется неравенство

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями. На промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке в начале статьи, . Следующая теорема позволяет ответить на вопрос, в каких точках функция может достигать экстремума.

Теорема Ферма (необходимый признак экстремума). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то её производная при обращается в нуль, т.е.

Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенство означает, что , т. е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ox.

Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная равна нулю.

Однако функция может иметь экстремум и в тех точках области определения, где производная не существует.

Пример 1. Функция в точке x=0 достигает минимума, но не дифференцируема при x=0, так как в этой точке график не имеет определённой касательной (рис. сверху).

Пример 2. Функция, изображённая на рисунке сверху, имеет в точке максимум, но не дифференцируема в этой точке, так как при касательная к кривой образует с осью Ox угол .

Замечание. Условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет.

Пример 3. Функция , изображённая на рисунке сверху, имеет производную , которая обращается в нуль при x=0, однако в точке x=0 функция экстремума не имеет.

Те значения аргумента, при которых функция сохраняет непрерывность, а её производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (или критическими значениями аргумента).

Теорема Ферма является лишь необходимым признаком экстремума, так как не в каждой критической точке экстремум существует. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Первый достаточный признак экстремума. Если - критическая точка функции f(x) и в некоторой окрестности этой точки слева и справа от неё производная имеет противоположные знаки, то является экстремумом функции, причём:

   1) максимумом, если при и при ;

   1) минимумом, если при и при .

Если же вблизи точки , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки . В этом случае в точке экстремума нет.

Таким образом, если - критическая точка f(x) и при переходе через производная меняет знак, то есть точка экстремума, причём точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если с минуса на плюс. В противном случае в точке экстремума нет.

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию и построить её график.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Кртическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Второй достаточный признак экстремума. Если функция f(x) дважды дифференцируема и в точке выполняются условия и , то в этой точке функция имеет экстремум, причём максимум, если , и минимум, если .

Замечание 1. Если в точке образаются в нуль обе производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума неприменим и тогда, когда в критической точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

  1) ;

  2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок "Производная"