"Чистая"
и прикладная математика

ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ ВИДЫ

Смысл точки разрыва функции

Точки разрыва первого рода

Точки разрыва второго рода

Смысл точки разрыва функции

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции. Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности.

Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции. График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.

Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва. Разрывы бывают первого рода и второго рода.

Для того, чтобы определять виды точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы, поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Точки разрыва первого рода

Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).

Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.

Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва.

Решение. Функция не определена в точке . Находим левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Левый и правый пределы равны, следовательно точка - точка устранимого разрыва первого рода.

Есть возможность доопределить функцию:

График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов.


Точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. Существуют левый и правый пределы, но они различны (не равны). Функцию невозможно доопределить. Разность пределов называется скачком.

Пример 2. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке меняется выражение функции. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Левый и правый пределы не равны равны, следовательно точка - точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пройти тест по теме Предел


Точки разрыва второго рода

Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).

Пример 3. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.


И ещё пара примеров.

Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

.

Пределы не равны и конечны, поэтому точка - точка неустранимого разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов.


Пример 5. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Оба предела бесконечны, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Весь раздел "Исследование функций"