"Чистая"
и прикладная математика

Понятие функции. Способы задания функции

Каждому элементу - один и только один элемент

Способы задания функций

Сложная функция

Обратная функция

Каждому элементу - один и только один элемент

Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.

Пусть X и Y - какие-то множества. Имеет место функция, определённая на множестве X со значениями на множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу xX ставится в соответствие один и только один элемент yY.

Это записывается в виде

y = f(x).

Другими словами, с помощью функции y = f(x) множество X отображается в множество Y. Поэтому функцию называют также отображением.

Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского самолёта. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает соответствие f : каждому пассажиру xX сопоставляется то кресло y = f(x), в котором он сидит.

Наблюдается, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.

Если в кресле находятся два пассажира и (например, мать и ребёнок), то это никак не противоречит определению функции f, которая и , и однозначно ставит в соответствие кресло . При этом такая функция принимает одно и то же значение при разных значениях и аргумента, подобно тому как числовая функция y = f(x) = x² принимает одно и то же значение 9 при x = - 3 и при x = 3.

Если, однако, какому-то пассажиру удастся сесть сразу в два кресла и , то нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функций, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало бы одно определённое значение y = f(x) функции.

В математическом анализе часто X обозначают как D (область определения функции), а Y как E (область значений функции) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел). На сайте есть урок Как найти область определения функции.

Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от икса или f(x). И это неслучайно. Функции составляют бОльшую часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления в функции.

Пример 1. Даны множества A = {abcde} и L = {lmn}. Можно ли между элементами этих множеств установить такое соответствие, чтобы оно было функцией? Если да, то записать это соответствие, указав стрелками, какой элемент какому соответствует.

Решение. Итак, множество A содержит 5 элементов, а множество L - 3 элемента. Если мы поставим стрелки, ведущие от каждого элемента множества L к элементам множества A, то некоторым элементам L будут соответствовать более одного элемента A. Такое соответствие не является функцией по определению. Но если мы проведём стрелки от элементов A к элементам L, то некоторым элементам A будут соответствовать одни и те же элементы L, но при этом каждому элементу A будет соответствовать не более одного элемента L. Такое соответствие не противоречит определение функции, следовательно, ответ на вопрос задания - положительный.

Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных множеств, которое будет функцией:

Пример 2. Даны множества A = {70, 140, 30, 48} и В = {35, 15, 12}. Установить между элементами множеств соответствие, заданное правилом "элемент A можно нацело поделить на элемент В". Будет ли такое соответствие функцией?

Решение. Между элементами множеств A и В устанавливается следующее соответствие:

Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества A соответствует не более одного элемента из множества В.

Способы задания функций

Аналитическое задание функции.

Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

При аналитическом задании функции указывают область определения, либо не указывают. В первом случае функция задаётся в виде y = f(x), xD, где D - область определения функции, во втором случае - в виде y = f(x). Во втором случае областью определения функции считается наибольшее множество, на котором имеет смысл формула, которой задана функция, то есть наибольшее множество аргумента, которое приводит к действительным значениям функции.

Важно, что функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции y = x², x∈]-∞,+∞[ и y = x², x∈[2, 4], выраженные одной и той же формулой y = x², так как они имеют разные области определения.

Наоборот, одна и та же функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения. Пусть, например,

Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой прямой. При x≤0 значения этой функции определяются по первой формуле, а при x>0 - по второй.

Пример 3. Площадь круга вычисляется как функция радиуса . Каковы должны быть требования к аналитическому заданию этой функции, то есть, можно ли записывать без указания области определения функции или же нужно указывать область определения и записывать ?

Решение. Нельзя опускать запись области определения функции , так как хотя выражение имеет смысл при всех действительных значениях r, но для площади круга допустимы лишь значения r≥0.

Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых значениях аргумента. Недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.

Графический способ задания функции.

График функции даёт наглядное представление о её свойствах. Например, график линейной функции y = kx + b - прямая линия, график квадратичной функции y = ax² + bx + c - парабола и т. д. При этом строятся графики функций, заданных геометрически, т. е. в виде формул или уравнений. Таким образом, под графиком функции понимается множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Графический способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически - это значит построить её график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине электрокардиограф строит электрокардиограмму - кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы.

Графиком числовой функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (xf(x)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задаёт функцию, если любая прямая, параллельная оси 0y, пересекает её не более чем в одной точке.

Пример 4. На рисунке ниже - график параболы, заданной уравнением y² = 2x. Является ли этот график графиком функции?

Решение. График параболы, заданной уравнением y² = 2x, не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси 0y, пересекает его в двух точках при всех значениях x, кроме x = 0. Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям , каждое из которых определяет функцию. Графиком функции служит верхняя половина параболы, а графиком функции - её нижняя половина.

Табличный способ задания функции.

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента записывается соответствующее значение функции. Широко известных таблицы квадратов и кубов чисел, квадратных корней, то есть таблицы функций , , .

Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

Сложная функция

Если функция y зависит от переменной u, то есть y = f(u), а u, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой переменной x, то есть u = g(x), то переменная y называется функцией от функции или сложной функцией от x.

Это записывается в виде

y = f(u), u = g(x)

или

y = f[g(x)].

Таким образом, сложной называется функция, аргументом которой является не независимая переменная, а некоторая функция от неё.

Область определения сложной функции - это множество тех значений x из X, для которых соответствующие значения u принадлежат области определения U функции y = f(u). Ни для каких других значений x сложная функция не имеет смысла.

Из определения следует, что сложная функция y = f[g(x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций y = f(u), u = g(x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной x. Цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев.

Например, функция состоит из трёх звеньев: , , .

Пример 5. Представить сложную функцию в виде звеньев - простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих звеньев:

Пример 6. Представить сложную функцию в виде звеньев - простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих звеньев:

Обратная функция

Если функция y задана уравнением вида f(xy) =0, не разрешённым относительно y, то она называется неявной функцией аргумента x (Что такое разрешить уравнение относительно одной из переменных - в примере 8).

Пусть задана некоторая функция y = f(x), т. е. некоторое соответствие между множествами D(f) (область определения) и E(f) (множество значений). Если обратное соответствие есть функция, т. е. каждому значению yE(f) соответствует одно единственное значение xE(f), то её называют обратной функцией по отношению к функции f(x).

В этом случае уравнение y = f(x) определяет x как неявную функцию от y. Если это уравнение разрешимо относительно x, то получим явное выражение обратной функции: x = g(y).

Пример 7. Будет ли функцией соответствие, обратное функции ? А соответствие, обратное функции ?

Решение. Соответствие, обратное функции, заданной в первом условии, также является функцией:

.

Соответствие, обратное функции, заданной во втором условии, не является функцией, так как , то есть значениям икса, кроме нуля, соответствуют два значения игрека.

Пример 8. Найти функцию, обратную функции .

Решение. Множество значений данной функции . Разрешив уравнение, которым задана функция, относительно x, получаем . Заменив в этом уравнении x на y, получим функцию, обратную данной:

, где , .

Весь раздел "Исследование функций"