"Чистая"
и прикладная математика

ВЫПУКЛОСТЬ, ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Исследование функции на выпуклость и вогнутость может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика. Выпуклость и вогнутость функции имеет место только на определённом интервале, с чем и связаны нижеприведённые определения.

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 1).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом интервале он расположен выше любой своей касательной  (рис. 2).


Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x) во всех точках интервала ]a, b[

то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же

во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.


Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 3).


Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке функция f(x) имеет первую производную , а вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через меняет знак, то

является точкой перегиба графика функции y = f(x).


Таким образом, чтобы исследовать характер выпуклости кривой y = f(x), нужно найти те точки, в которых или не существует, а затем, используя достаточный признак, исследовать знаки второй производной слева и справа от каждой возможной точки перегиба (подобно тому, как определялись точки экстремума по первой производной).

Пример 1. Найти точки перегиба и установить характер выпуклости графика функции .

Решение. Функция определена при . Её производные и . Найдём возможные точки перегиба. Полагая , получим , т. е. , полагая , получим .

Однако точки и не входят в область определения заданной функции, поэтому она может иметь только одну точку перегиба при . Исследуем знаки второй производной в окрестности точки . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Следовательно, слева от кривая выпукла, а справа - вогнута, поэтому при график функции имеет точку перегиба .

График этой функции - на рис. снизу.

Пример 2. Найти точки перегиба, характер выпуклости и вогнутости и построить график функции .

Решение. Функция определена при . Её производные и . Здесь , а при , причём при и при . Следовательно, слева от кривая вогнута, а справа - выпукла, т.е. - точка перегиба графика.

График этой функции - на рис. снизу.

Пример 3. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию .

Решение. Находим вторую производную: . Из уравнения получаем одну критическую точку: . Исследовав знак в окрестности точки получаем: слева от точки (выпуклость), а справа - (вогнутость), т. е. точка является точкой перегиба рассматриваемой функции.

График этой функции - на рис. снизу.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок "Производная"