"Чистая"
и прикладная математика

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие экстремумов функции двух переменных вводится подобно тому, как это было сделано для функции одной переменной.

Наибольший интерес представляет алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных, так как он отличается от алгоритма нахождения экстремумов функции одной переменных. В частности, потребуется вычислять определители.

Итак, алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных.

Дана функция двух переменных .

Шаг 1. Находим частные производные и .

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю (их равенство нулю и есть необходимый признак существования экстремума):

Решения этой системы уравнений являются точками возможного экстремума - критическими точками.

Шаг 3. Пусть является критической точкой, найденной на шаге 2. Чтобы убедиться, что в ней существует экстремум функции двух переменных, находим частные производные второго порядка

как частные производные от частных производных первого порядка, найденных на шаге 1.

Шаг 4. Присваиваем частным производным второго порядка, найденным на шаге 3, буквенные обозначения:

Находим определитель и проверяем достаточный признак существования экстремума.

Если , то экстремума в найденной критической точке нет,

если , то экстремум в найденной критической точке есть,

если , то требуются дополнительные исследования.

Если экстремум в найденной точке есть и если , то в этой точке существует минимум функции двух переменных, если , то максимум.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значение экстремума функции двух переменных (минимума или максимума).

Примеры начнём с более сложного, в котором составленная система уравнений имеет несколько решений, а, значит, найдено несколько критических точек.

Пример 1. Найти экстремумы функции двух переменных .

Решение. Следуем изложенному выше алгоритму.

Шаг 1. Находим частные производные:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю:

Делим первое уравнение системы на 3, а второе на 6 и получаем

Из второго уравнения выражаем , подставляем в первое уравнение и получаем

Умножаем это уравнение на и получаем

.

Производим замену переменной: и получаем

.

Решаем полученное квадратное уравнение: .

Так как и , то

Таким образом, получили четыре критических точки - точки возможного экстремума.

Шаг 3. Находим частные производные второго порядка

Шаг 4. Находим определитель :

, т. е. экстремума в найденной критической точке нет,

, т. е. экстремума в найденной критической точке нет,

и , т. е. в найденной критической точке есть минимум функции двух переменных,

и , т. е. в найденной критической точке есть максимум функции двух переменных.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значения экстремума функции двух переменных:

,

Второй пример - на десерт, так как в нём только одна критическая точка.

Пример 2. Найти экстремумы функции двух переменных .

Шаг 1. Находим частные производные:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю:

Решаем систему уравнений:

Таким образом, получили критическую точку - точку возможного экстремума.

Шаг 3. Находим частные производные второго порядка

Шаг 4. Находим определитель , т. е. в найденной критической точке есть экстремум, причём так как , то это минимум.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значение экстремума функции двух переменных:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Исследование функций

Функции несольких переменных