"Чистая"
и прикладная математика

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где p и q - вещественные числа (постоянные величины), f(x) - непрерывная функция.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: .

Общее решение может найти каждый, кто ознакомился с соответствующим уроком. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Существуют методы решения для случаев, когда функция f(x) в правой части уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию и тригонометрическую функцию.

Правая часть - многочлен некоторой степени

Пусть правая часть - многочлен второй степени: . Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать также в виде многочлена второй степени: . Задача состоит в определении коэффициентов A, B, C.. Для этого находим первую и вторую производные функции Y, а затем выражения Y, и подставляем в уравнение вместо маленькой буквы y с соответствующим количеством штрихов. В результате получаем

или после группировки членов левой части

Последнее тождество возможно лишь при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x:

Т. е. получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных A, B, C. При система даёт единственное решение для A, B, C.

Если же в линейном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициент , то его частное решение следует искать в виде

.

Далее - также ищем и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, не забывая, что .

Если же и , то исходное уравнение имеет вид . Оно решается непосредственным двукратным интегрированием.

Аналогично поступают в случаях, когда в линейном неоднородном дифференциальном уравнении функция f(x) является многочленом n-й степени. Если , то частное решение ищут в виде многочлена той же степени. Если же , то частное решение ищут в виде произведения многочлена n-й степени на x. Если и предшествующий ему коэффициент равен нулю, то частное решение ищут в виде и т.д.

Пример 1. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Сначала решаем однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде , поскольку в правой его части - многочлен второй степени, а . Подстановка функции Y и её производных в данное уравнение приводит к тождеству

или

.

Отсюда для определения коэффициентов A, B, C получаем систему уравнений

Её решения , , .

Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

а его общее решение

.

Пример 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Так как в данном уравнении (отсутствует член с y), а в правой его части - многочлен первой степени, то частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде . Найдя первую и вторую производные функции Y и подставив их в данное уравнение, получим

или

.

Таким образом, для определения коэффициентов A, B получаем систему уравнений

Её решения , .

Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

а его общее решение

.

Правая часть уравнения - показательная функция

То есть, . Тогда и его частное решение также будем искать в виде показательной функции: . Для определения коэффициента A найдём первую и вторую производные этой функции: , , а затем подставим выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Это даёт

или

так как . Отсюда найдём A, если , т. е. если коэффициент b не является корнем характеристического уравнения.

Если же b - однократный корень характеристического уравнения, т. е. , то частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде . В этом случае коэффициент A определяется однозначно. Для этого находим и , а затем подставив выражения для Y, и в исходное уравнение, получим

или после тождественных преобразований

.

Так как, по условию , то после сокращения на множитель получим , откуда определяется A, если , т. е. если .

Если же является корнем характеристического уравнения, то это означает, что b является двукратным корнем этого уравнения. Тогда частное решение линейного однородного дифференциального уравнения следует искать в виде . Для определения коэффициента A находим и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим

или после приведения подобных членов и сокращения на

.

Но как дискриминант характеристического уравнения, имеющего равные корни. Следовательно, последнее равенство упрощается и принимает вид , откуда и определяется A.

Пример 3. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Сначала решим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Правая часть исходного уравнения представляет собой показательную функцию, а коэффициент b = 4 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде. Находим его первую и вторую производные, а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим

или , т. е. .

Следовательно, частным решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения служит функция , а его общее решение имеет вид

.

Пример 4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Данному уравнению соответствует такое же однородное уравнение, как и в примере 3, а значит, такое же решение однородного уравнения. Однако частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , так как коэффициент b = 2 является корнем характеристического уравнения. Для определения коэффициента A находим и , а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим

откуда находим , т. е. .

Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а общее решение

.

Правая часть уравнения - тригонометрическая функция вида ,

причём . Тогда и частное решение следует искать в таком же виде, а именно . Для определения коэффициентов A и B находим первую и вторую производные этой функции и подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Тогда после группировки членов в левой части получаем

.

Это тождество возможно, если коэффициенты при и совпадают. Приравнивая их, получим систему уравнений

откуда находим

,

.

Эти формулы показывают, что коэффициенты A и B можно найти всегда, за исключением случая . Так как , то это равенство возможно, если и , т. е. если линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид

.

В этом случае частное решение следует искать в виде . Найдя вторую производную и подставив выражения для Y и в уравнение, получим

или после упрощений

откуда , .

Из этих уравнений всегда можно определить коэффициенты A и B, поскольку

или после тождественных преобразований

Пример 5. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для определения коэффциентов A и B находим и и подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим

или после приведения подобных членов

откуда для определения A и B получаем систему уравнений

Решая её, найдём .

Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение

.

Пример 6. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Данному неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение . Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Таким образом, общее решение однородного уравения

.

В данном уравнении отсутствует член с первой производной, а . Поэтому его частное решение ищем в виде . Подстановка выражений и Y даёт

или

откуда , .

Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение

.

Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму рассмотренных типов функций, т. е. , то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме "Дифференциальные уравнения"

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями