"Чистая"
и прикладная математика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
,
где левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F(x, y). Решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах значит найти такую функцию eF(x, y), полный дифференциал от которой
.

Отсюда следует, что общее решение уравнения в полных дифференциалах в неявном виде определяется уравнением F(x, y) = C, где C - произвольная постоянная.

Вспоминаем урок о частных производных и полных дифференциалах. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Задачи на решение уравнений в полных дифференциалах - пожалуй, лучшая практика на нахождение частных производных и частных интегралов. О самых распространённых ошибках при этих операциях поговорим после алгоритма решения уравнения в полных дифференциалах и первого примера.

Как решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах?

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

,
где - пока неизвестная функция от y.

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) - проинтегрировать второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:

,
где - пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте - по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

,

а в альтернативном варианте - к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства - в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по y другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:


где - пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки - принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.

Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная "действующей" переменной, умноженной на константу.

Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость - примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по y другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:


где - пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х

и приравняем к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
.

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:


где - пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:


где - пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы (так удобнее) - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:


где - пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х

и приравняем к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
.

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение при условии .

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:


где - пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Подставляем значения для y и x и находим частное решение дифференциального уравнения:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме "Дифференциальные уравнения"

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями