"Чистая"
и прикладная математика

ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Дифференциальное уравение первого порядка называется однородным, если и - однородные функции одной и то же степени.

Функция называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство .

В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство

Пример 1. Установить, являются ли однородными функции

1) ;

2) ;

Решение. Находим

Следовательно, - однородная функция третьей степени.

Аналогично устанавливается, что - однородная функция четвёртой степени:

Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но нулевой степени. Пусть и - однородные функции k-й степени. Это означает, что , а . Их отношение - некоторая функция , так как .

Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Для этого преобразуем уравнение к виду

или ,   (1)

где - однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t. В частности, если , то , или , т. е. функция представлена в виде функции от .

Обозначим это отношение через z, т. е. , откуда . Тогда

и уравнение (1) преобразуется так:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, затем следует заменить z на .

Пример 2. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду

,

а затем произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид

, или , или .

Почленное интегрирование даёт

, или .

Заменяя z на , получим , откуда .

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Пример 3. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду

,

а затем произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид

.

Путём дальнейших преобразований получаем
.

Итак, или .

Далее или .

Почленное интегрирование даёт

.

Заменяя z на , получим , откуда и
- общий интеграл данного уравнения.

Пример 4. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим

или

.

Произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид

.

Путём дальнейших преобразований получаем

Итак, или
.

Почленное интегрирование даёт

,
откуда .

Заменяя z на , получим

Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x и получим

- общий интеграл данного уравнения.

Пример 5. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим

или

.

Произведём подстановку , откуда . Тогда уравнение примет вид

.

Путём дальнейших преобразований получаем

Итак, или
.

Почленное интегрирование даёт

.

Заменяя z на , получим

Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x в кубе и получим

- общий интеграл данного уравнения.

Выводы. Чтобы решать однородные дифференциальные уравнения, необходимо хорошо владеть методами интегрирования - путём замены переменной и по частям. В практических задачах на этот вид дифференциальных уравнений нередко после преобразований получаются выражения, интегрируя которые, требуется применять как один, так и другой метод интегрирования дважды или даже трижды.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме "Дифференциальные уравнения"

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями