"Чистая"
и прикладная математика

ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

При нахождении производных простых тригонометрических функций во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

  • в выражении функции часто одно из слагаемых представляет собой синус, косинус или другую тригонометрическую функцию не от аргумента функции, а от числа (константы), поэтому производная этого слагаемого равна нулю;
  • почти всегда нужно упростить выражение, полученное в результате дифференцирования, а для этого нужно уверенно пользоваться знаниями по действиям с дробями;
  • для упрощения выражения почти всегда нужно знать тригонометрические тождества, например, формулу двойного угла и формулу единицы как сумму квадратов синуса и косинуса.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Допустим, с производной косинуса всё понятно, скажут многие, начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса двенадцати, делённых на пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) - ловушка, потому что аргумент - не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть, синус этого числа - тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим его производную, не забывая про знак:

.

Ответ:

.

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Второе слагаемое - тот же случай, что и первое слагаемое в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную второго слагаемого как производную частного:

Ответ:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями, а именно - в ликвидации трёхэтажности дроби.

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Здесь буква "фи" играет ту же роль, что "икс" в предыдущих случаях (и в большинстве других, но не во всех) - независимой переменной. Поэтому, когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять равной нулю производную корня от "фи". Итак:

Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что существует такая тригонометрическая функция - секанс - и её формулы через косинус. Дифференцируем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем:

Далее применяем следующие тригонометрические тождества:

,

(это и есть формула двойного угла)

и получаем:

.

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 7. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется всего-то лишь умение сокращать дроби. И внимание - не забыть, что дробь нужно сократить. Это сделано на последнем шаге решения:

В решении применено тригонометрическое тождество:

.

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"