"Чистая"
и прикладная математика

АСИМПТОТЫ К ГРАФИКАМ ФУНКЦИЙ

Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции.

Определение 2. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

или .

(при этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при и ).

Замечание. Символом

обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a, символом

стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.


Пример 1. График функции y = ln x имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как

(рис. слева).


Горизонтальные асимптоты. Если

то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при , левая при и двусторонняя, если пределы при равны).


Пример 2. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку


Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.


Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

          (1)

или

      (2)


В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При совпадении пределов (1) и (2) прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

 


Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно,

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота; при

слева

при

справа

Горизонтальной асимптоты кривая не имеет, так как

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой заданной кривой (рис. внутри примера).

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"