"Чистая"
и прикладная математика

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.

Правило Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности

и если

или

то

            (1)           

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

В равенстве (1) может быть либо числом, либо ∞, либо - ∞.


Пример 1. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x= 2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:


Замечание 1. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.


Пример 2. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.


Замечание 2. Применение правила Лопиталя к раскрытию неопределённостей вида 0∙∞ или ∞ - ∞ возможно лишь после преобразования их к виду 0/0 или ∞/∞ (0∙∞ - символическая запись произведения бесконечно малой величины на бесконечно большую).


Пример 3. Вычислить

Решение. Имеем

(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

а затем применили правила Лопиталя).


Замечание 3. Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида


Пример 4. Вычислить

Решение. В этом случае

т. е. имеем неопределённость вида . Положим

 

Логарифмируя, получим

При

числитель и знаменатель этой дроби стремятся к - ∞, т.е. получается неопределённость вида ∞/∞, к которой применимо правило Лопиталя:

Здесь правило Лопиталя применено дважды.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок "Производная"