"Чистая"
и прикладная математика

СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. СОПРЯЖЁННЫЕ ЧИСЛА

Сложение и умножение комплексных чисел

Сопряженные числа и их свойства

Деление комплексных чисел

Сложение и умножение комплексных чисел

Комплексное число a можно задать парой действительных чисел (его координатами) . Два комплексных числа a и равны тогда и только тогда, когда и .

В чём геометрический смысл сложения комплексных чисел? На плоскости, где каждое комплексное число отображено как вектор, идущий от начала коодинат 0 до точки , сложение комплексных чисел сводится к сложению соответствующих векторов по правилу параллелограмма (рисунок перед примером).

Поэтому сложение двух комплексных чисел a и b в координатной форме может быть представлено следующей формулой:

.

Вычитание же комплексного числа из комплексного числа может быть представлено формулой .

А для того, чтобы произвести алгебраические операции сложения и вычитания комплексных чисел, следует использовать следующие формулы:

.

.

То есть, при сложении комплексных чисел складываются отдельно их действительные части и отдельно их мнимые части. Аналогичное правило действует и для вычитания.

При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, получено следующее правило: модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, то есть аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. В свою очередь модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, делённому на модуль делителя, то есть аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делителя.

Из этого легко понять геометрический смысл умножения и деления комплексных чисел. При умножении получается точка, изображающая произведение числа на число , если вектор, идущий от 0 к , повернём против часовой стрелки на угол , являющийся аргументом числа , а затем растянем этот вектор в раз. При делении это будет сжатием, а не растяжением.

Всё описанное выше проиллюстрировано на рисунке ниже.

При умножении двух комплексных чисел получается выражение

Пример 1. Сложить и умножить комплексные числа и .

Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:

Теперь умножаем:

Пример 1. Сложить и умножить комплексные числа и .

Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:

Теперь умножаем:

Пример 2. Выполнить операцию сложения комплексных чисел и .

Решение. Применяем формулу сложения, не путаем знаки перед мнимой частью второго числа и получаем:

Пример 3. Выполнить операцию вычитания из комплексного числа комплексного числа .

Решение. Применяем формулу вычитания и, опять же, не путаясь в знаках, получаем:

Пример 4. Выполнить операцию умножения комплексных чисел и .

Решение. Применяем формулу для умножения и получаем:

Наверное, многие уже почувствовали, что сложение и умножение комплексных чисел - действия достаточно простые. Главное - не запутаться в знаках - правильно переносить их из формулы и соблюдать знаки самих частей комплексных чисел. И это действительно так, но на практике попадаются задания посложнее, где действия с комплексными числами соединяются с другими действиями, известными в математике. Таковы, например, уравнения и системы уравнений с комплексными числами.

Пример 5. Найти x и y, считая их вещественными, в уравнении

.

Решение. Подвоха нет: умножение на икс и игрек - это именно умножение по всем правилам алгебры. Раскрываем скобки:

.

Теперь нужно привести левую часть полученного выражения к алгебраической форме комплексного числа, записываем отдельно действительную и мнимую части:

.

Решаем отдельно уравнение для действительной части и для мнимой части. То есть записываем систему уравнений:

Второе уравнение сокращаем на i - мнимую единицу, система приобретает вид

Из первого уравнения выражаем икс и подставляем во второго уравнение:

Находим икс и игрек - получаем решение задачи:

Далее - несколько более сложный пример на умножение комплексных чисел. Сложность в том, что нужно выполнять целую цепочку умножений, в которой к тому же действительная часть разбита на константу (то есть число) и переменную - икс. Тяжело в учении, легко в бою.

Пример 6. Проверить тождество:

.

Решение. Обозначим, какие умножения в какой очерёдности выполняем:

.

Находим произведение I. По всем правилам умножения комплексных чисел. Помним, что икс - это составная действительной части комплексного числа:

По тем же правилам находим произведение II:

Так же, не открывая никаких новых правил, а просто последовательно применяя правила умножения комплексных чисел, находим произведение III:

Как видим, тождество доказано.

Для комплексных чисел понятия "больше" и "меньше" не могут быть разумно определены, так как эти числа, в отличие от действительных чисел, располагаются не на прямой линии, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости. Поэтому сами комплексные числа (но не их модули!) никогда нельзя соединять знаком неравенства.

Сопряженные числа и их свойства

Пусть - комплексное число. Число , отличающееся от числа a лишь знаком при мнимой части, называется числом, сопряжённым с a.

Свойства сопряжённых чисел

1) (число, сопряжённое сопряжённому числу, равно данному числу);

2) если a и b - комплексные числа, то и (число, сопряжённое с суммой двух чисел, равно сумме чисел, сопряжённых со слагаемыми и число, сопряжённое с произведением, равно произведению чисел, сопряжённых с сомножителями).

3) если , то и - положительное действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда , т. е. когда и .

Пример 7. Даны комплексные числа и . Убедиться в справедливости свойств сопряжённых чисел.

Решение. Сопряжёнными данным комплексным числам являются числа и . Сумма данных комплексных чисел:

,

а произведение:

.

В свою очередь

,

Таким образом, справедливость свойств сопряжённых чисел доказана.

Деление комплексных чисел

Как и при любом делении в алгебре, комплексное число нельзя делить на нуль и на комплексное число 0 + i0.

При делении комплексного числа на действительное число на это число нужно разделить и действительную, и мнимую компоненты. При делении комплексного числа на комплексное число нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю.

Пример 8. Разделить комплексное число на комплексное число .

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на , получаем:

Автор проекта был свидетелем вопроса о том, откуда взялось 5 в знаменателе дроби. Пояснения вызывают реакцию "А слона-то я и не заметил!". Пояснения следующие: не забываем, что мы имеем дело с комплексными числами и знаем, что i - это не какая-нибудь переменная, а корень из минус единицы. Таким образом,

4 - i² = 4 - (- 1) = 5.

Пример 9. Разделить комплексное число на комплексное число .

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на , получаем:

Если всё же возникает вопрос, откуда в знаменателе дроби 10, смотрите пояснения в конце предыдущего примера.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

О множествах чисел

Множества и операции над множествами