"Чистая"
и прикладная математика

ПОНЯТИЕ, АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Комплексные числа вводятся в связи с тем, что действительных чисел недостаточно, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть

 + 1 = 0.

Задача такова: нужно расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой это уравнение обладало бы корнем.

Решение:  = - 1, x =√-1,

где √-1 - квадратный корень из минус единицы - мнимая единица, обозначаемая буквой i.

Продвинемся ещё на шаг к алгебрической форме записи комплексных чисел. Квадратное уравнение

имеет корни и , где i = √-1 - квадратный корень из минус единицы.

Таким образом, у комплексных чисел есть действительная и мнимая части. В алгебраической записи комплексного числа z = x + iy есть действительная часть x и мнимая часть iy.

В литературе часто встречается обобщённая алгебраическая форма комплексного числа с другими буквами: z = a + bi. Здесь же дана запись z = x + iy только для того, чтобы было более понятно отображение комплексного числа в привычной системе координат с осями x и y.

Отображая на плоскости горизонтальную ось x как ось действительных чисел, а вертикальную ось y как ось мнимых чисел, можно любое комплексное число z = x + iy отобразить как точку P в декартовой системе координат (рисунок ниже).

Поэтому возможна и запись комплексного числа в тригонометрической форме:

,

где - модуль комплексного числа, (аргумент комплексного числа) - угол, который радиус-вектор образует с осью Ox.

Обобщим ещё раз понятие модуля и аргумента комплексного числа. Модуль комплексного числа - это расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексного числа или, что то же самое - длина радиус-вектора . Аргумент комплексного числа - это угол, который радиус-вектор образует с осью Ox.

Теперь о том, как перейти от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической. Доказано, что

и

.

Поэтому можем легко найти косинус и синус аргумента комплексного числа:

, .

Пример 1. Найти тригонометрическую форму числа .

Решение. Модуль данного числа - квадратный корень из 1 + 1 = 2, что равно . Чтобы определить аргумент числа, учтём, что и . То есть, значение угла равно . Поэтому получаем тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 2. Найти тригонометрическую форму комплексного числа 1.

Возможны возражения: 1 - это же обычное, точнее, действительное число. Это так. Но это число можно представить и как комплексное число , то есть, комплексное число, в котором x=1 и y=0.

Решение. Модуль данного числа . Чтобы определить аргумент числа, найдём и . Следовательно, аргумент комплексного числа . Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пример 3. Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа . Чтобы определить аргумент числа, найдём и . Для нахождения угла с таким косинусом и таким синусом повернём воображаемый циркуль от угла 0 до и ещё на . Получаем . Следовательно, аргумент комплексного числа . Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 4. Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа . Чтобы определить аргумент числа, найдём и . Аргумент, то есть угол, у которого найденный косинус и найденный синус, определяется однозначно: . Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 5. Найти тригонометрическую форму комплексного числа -3.

Решение. Модуль данного числа . Чтобы определить аргумент числа, найдём и . Аргумент, то есть угол, у которого найденный косинус и найденный синус, определяется однозначно: . Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 6. Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа . Чтобы определить аргумент числа, найдём и . Чтобы найти угол, у которого найденный косинус и найденный синус, отвыкшим от школьных лет и тригонометрии, возможно, придётся чуть побольше попыхтеть, вращая воображаемый циркуль по координатной плоскости. Вот они, шаги вычисления угла: поворачиваем циркуль на , затем на и на Получаем . Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Пример 7. Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. Модуль данного числа . Чтобы определить аргумент числа, найдём и . Шаги вычисления угла, то есть аргумента: поворачиваем циркуль на , затем на и на Получаем . Получили тригонометрическую форму данного комплексного числа:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

О множествах чисел

Множества и операции над множествами