"Чистая"
и прикладная математика

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ

Бесконечно малая переменная

Правила сравнения бесконечно малых

Эквивалентные бесконечно малые

Бесконечно малая переменная

Функция называется бесконечно малой при ("икс нулевое" здесь - число или бесконечность), если

Из определения бесконечно малой следует, что это понятие относится только к переменным величинам, имеющим пределом нуль. Никакое фиксированное число, кроме нуля, не может быть бесконечно малым. Например, число при некоторых условиях можно считать очень малой величиной, но не бесконечно малой, так как это – величина постоянная. Нуль – единственная постоянная, которая является бесконечно малой величиной, поскольку

Примерами бесконечно малых величин могут служить: длина хорды круга по мере удаления её от центра, так как предел этой функции равен нулю;

при , так как

при , поскольку

Из теорем о пределах следует, что сумма (разность) и произведение двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Об отношении двух бесконечно малых никакого общего заключения сделать нельзя.

Отношение двух бесконечно малых величин в зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе может оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечностью.

Правила сравнения бесконечно малых

Пусть при функции и являются бесконечно малыми. Тогда:

1) если , то - бесконечно малая более высокого порядка, чем (или, что то же самое, имеет более высокий порядок малости, чем при );

2) если (A - число), то и - бесконечно малые одного порядка;

3) если , то и - эквивалентные бесконечно малые. Эквивалентность обозначается так: .

В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно ещё оценить, как высок этот порядок. Для этого существует следующее правило:

4) если , то бесконечно малая n-го порядка относительно .

Пример 1. Сравнить бесконечно малые и x при .

Решение. Данные функции при данном условии являются эквивалентными бесконечно малыми, так как .

Пример 2. Сравнить бесконечно малые и при .

Решение. Данные функции при данном условии являются бесконечно малыми одного порядка, так как .

Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых функций при , и .

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Эквивалентные бесконечно малые

Итак, как уже замечалось, если , то и - эквивалентные бесконечно малые. Эквивалентные - значит, равносильные. Во многих задачах на вычисление пределов можно заменить некоторую бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой. Это здорово помогает упростить решение задачи и сократить время решения.

Доказана эквивалентность следующих важнейших бесконечно малых:

1)

2)

3)

4)

5)

6) ()

7)

8) ()

9)

Пример 3. Привести к первому замечательному пределу путём использования эквивалентных бесконечно малых.

Решение. Применяя эквивалентные бесконечно малые и , получаем:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Предел

Начало темы "Предел"

Что такое предел функции и как его найти

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел